Номер 286

Розв’язуючи задачі 203 (1) і 203 (2), ви знайшли значення числових виразів 1 + 2 + 3 + … + + 10 і 1 + 2 + 3 + … + 100. Зауважимо, що такі самі результати можна отримати, обчисливши відповідно значення виразів (11 • 10) : 2 і (101 • 100) : 2. Висловіть гіпотезу, за якою формулою можна знайти значення S виразу 1 + 2 + 3 + … + n, де n — будь-яке натуральне число, яке більше за 1. Обговоріть свою гіпотезу з однокласниками й однокласницями. Перевірте своє припущення для: 1) n = 15; 2) n = 20.

Розв’язання

Формула гіпотези: (n + 1) • n : 2

1) Якщо n = 15, то (n + 1) • n : 2 = (15 + 1) • 15 : 2 = 16 • 15 : 2 = 240 : 2 = 120

Якщо n = 15, то 1 + 2 + 3 + … + n = 1 + 2 + 3 + … + 15 = (1 + 15) + (2 + 14) + (3 + 13) + (4 + 12) + (5 + 11) + (3 + 10) + (2 + 9) + 8 = 16 • 7 + 8 = 112 + 8 = 120 Формула вірна.

2) Якщо n = 20, то (n + 1) • n : 2 = (20 + 1) • 20 : 2 = 420 : 2  = 210

Якщо n = 20, то 1 + 2 + 3 + … + n = 1 + 2 + 3 + … + 20 = (1 + 20) + (2 + 19) + (3 + 18) + (4 + 17) + (5 + 16) + (6 + 15) + (7 + 14) + (8 + 13) + (9 + 11) + (10 + 12) = 21 • 10 = 210 Формула вірна.

Відповідь: формула (n + 1) • n : 2; 1) 120; 2) 210.