Частина 1. Номер 503

Доведи, що числа 9, 10 і a взаємно прості, яким би не було натуральне число a.

Розглянемо всі можливі випадки для натурального числа a:

1. Якщо a = 1: Найбільший спільний дільник чисел 9, 10 і 1 дорівнює 1, оскільки 9 та 10 прості між собою.

2. Якщо a є простим числом: Якщо a є простим числом, то воно не має спільних простих множників з числами 9 та 10, оскільки 9 та 10 не прості числа. Отже, їхній НСД також буде 1.

3. Якщо a є складним числом: Якщо a є складним числом, то його розкладаємо на прості множники. Оскільки 9 і 10 взаємно прості і не мають спільних простих множників, то будь-який спільний дільник між ними та числом a також буде мати тільки спільні прості множники з 1. Таким чином, НСД буде 1.

Отже, незалежно від значення натурального числа a, числа 9, 10 та a є взаємно простими, і їхній найбільший спільний дільник завжди дорівнює 1.