Номер 1019

Задача-дослідження. Знайди всі двоцифрові натуральні числа, які кратні добутку своїх цифр.

Нехай двоцифрове число складене з двох цифр a і b, причому a ≠ 0 і b ≠ 0, тоді його можна представити у вигляді: ab = 10a + b,  

За умовою (10а + b)/(а • b) = k, звідси

kab = 10a + b, де поділимо вираз на b, одержимо:

ka = 10a/b + 1. 

Оскільки числа ka і 1 – цілі, значить, дріб повинен бути цілим числом. Знаменник b має дорівнювати 1 або скоротитися. 

Якщо b = 1, тоді маємо ka = 10a/1 + 1, ka = 10a + 1,  a(k – 10) = 1, a = 1/(k – 10), при

к = 11, а = 1, маємо число 11

Якщо b = 2, тоді маємо ka = 10a/2 + 1, ka = 5a + 1,  a(k – 5) = 1, a = 1/(k – 5), при

к = 6, а = 1, маємо число 12

Якщо b = 3, тоді маємо ka = 10a/3 + 1, ka = 10/3a + 1,  a(k – 10/3) = 1, a = 1/(k – 10/3), не існує к, при якому а буде цілим числом, тому не підходить.

Міркуючи аналогічно отримаємо решта чисел.

Відповідь: 11, 12, 15, 24, 36.