Номер 1261

Доведіть, що квадрат натурального числа має непарну кількість дільників.

Якщо натуральне число n є дільником натурального числа a, то число a можна записати у вигляді добутку двох натуральних чисел: a = mn. З рівності a = mn слідує, що натуральне число m теж є дільником числа a. Кожен натуральний дільник n числа a породжує іншого дільника m цього числа, тобто дільники породжуються парами. Для квадрата натурального числа a² в усіх випадках, крім одного, пари дільників складаються з різних чисел. Виняток складає випадок a² = aa, де обидва множники рівні і тут породжується лише один дільник. Тому квадрат натурального числа має непарну кількість дільників.