Номер 158

На дошці записано числа 1, 2, 3, ..., 10. За один крок дозволено вибрати два числа, до кожного з них додати 5 або від кожного відняти 1. Чи можна за допомогою цих операцій домогтися того, щоб усі числа, записані на дошці, виявилися рівними?

І спосіб. Різниця між кількістю парних і непарних чисел є число непарне. Нехай у початковий момент маємо 5 парних і 5 непарних чисел, тоді їх різниця дорівнює нулю. Якщо всі числа парні, або непарні, то їх різниця — парне число.

За умовою задачі можна взяти два числа і до кожного з них додати 5 або від кожного відняти 1.

1 крок: беремо два числа, одне парне, друге непарне, при будь-якій з вказаних операцій, перше стане непарним, а друге парним. При цьому кількість парних і непарних чисел залишиться без змін, тому і різниця між ними залишиться без змін.

2 крок: якщо взяти два парних числа, то після вказаних операцій вони будуть непарними. Різниця між ними або збільшиться на 4, або зменшиться на 4. Аналогічно, якщо взяти непарні числа і виконати вказані операції, різниця між ними або збільшиться на 4, або зменшиться на 4, тобто різниця кратна 4, тому різниця парне число.

Отже, зробити вказаним способом так, щоб усі числа були рівними, можна.

II спосіб. Дано числа 1, 2, 3, …, 10. Серед них п’ять парних і п’ять непарних. У початковий момент різниця між ними дорівнює нулю. А якщо всі числа або парні, або непарні, то різниця дорівнює ±8. Розглянемо можливі випадки.
1. Беремо два числа, одне з яких парне, а друге непарне. Якщо до кожного з них додати 5, або від кожного відняти 1, то отримаємо навпаки непарне і парне числа. Тобто кількість парних і непарних чисел не зміниться, тому і різниця між ними зберігається.

2. Беремо два парних числа і знову до кожного або додаємо 5, або від кожного віднімаємо 1. Тоді отримаємо два непарних числа і різниця між ними зміниться на 4, або збільшиться на 4, або зменшиться на 4.

3. Беремо два непарних числа, виконаємо вказані дії, отримаємо парні числа, різниця між якими зміниться на 4, або збільшиться на 4, або зменшиться на 4.

Різниця 0, ±4 — числа кратні 4, і різниця ±8 — число кратне 4. Висновок. За допомогою вказаних операцій (або додати 5 до кожного з двох обраних чисел, або відняти від кожного 1) можна домогтися того, що усі числа, записані на дошці, виявилися рівними.