Номер 201

Доведіть, що не має від’ємних коренів рівняння.

1) Дано рівняння x⁴ – 5x³ + 6x² – 7x + 5 = 0.
Нехай коренями цього рівняння є від’ємні числа, тоді кожен доданок лівої частини цього рівняння є число додатне, тому сума додатних чисел є число додатне, а за умовою сума дорівнює нулю. Маємо протиріччя. Висновок: припущення неправильне. Рівняння не має від’ємних коренів.

2) Дано рівняння x⁸ + x⁴ + 1 = x⁷ + x³ + x.
Виконаємо тотожні перетворення, отримаємо рівняння x⁸ + x⁴ + 1 – x⁷ – x³ – x = 0.
Якщо коренями цього рівняння є від’ємні числа, то всі доданки лівої частини рівняння — додатні числа, сума яких теж додатне число — відмінне від нуля.
Висновок: рівняння не має від’ємних коренів.