Номер 262

Доведіть, що значення виразу:
1) 17⁸ + 19 ділиться націло на 10;
2) 64⁶⁴ – 1 ділиться націло на 5;
3) 3⁴ⁿ + 14, де n — натуральне число, ділиться націло на 5.

1) 17⁸ + 19 = (17²)⁴ + 19. Оскільки 17⁸ = (17²)⁴ = (289)⁴, тобто 289 у парному степені закінчується цифрою 1, тому 1 + 19 = 20, тобто число 178 + 19 закінчується цифрою 0. Це означає, що число 178 + 19 ділиться націло на число 10.

2) 64⁶⁴ – 1. Оскільки 64⁶⁴ = (64²)³², а 64² = 64 • 64 = 4096, тобто закінчується цей добуток цифрою 6. Числа, які закінчуються цифрою 6, у парному степеню теж закінчуються цифрою 6. Тому число 64⁶⁴ – 1 закінчується цифрою 5 (6 – 1 = 5), що дає можливість стверджувати, що значення виразу 64⁶⁴ – 1 ділиться націло на число 5.

3) 3⁴ⁿ + 14. Оскільки 3⁴ⁿ = 9²ⁿ, то 9² = 9 • 9 = 81, число закінчується цифрою 1. Число 81 у будь–якому парному степеню теж закінчується цифрою 1, тому число 3⁴ⁿ + 14 закінчується цифрою 5 (1 + 14 = 15), що означає, що число 3⁴ⁿ + 14 ділиться націло на число 5.