Номер 734

Діаметр AB ділить кожну із хорд MN і PK, відмінних від діаметра, навпіл. Доведіть, що MNPK.

Дано: коло з центром в точці O. AB — діаметр. MN, PK — хорди.

ME = EN; E ∈ AB. PF = FK. F ∈ PK.

Довести: PK ∥ MN.

Доведення: Виконаємо додаткову побудову: радіуси OM, ON, OK, OP.

Розглянемо △MON — рівнобедрений (OM = ON — радіуси).

За умовою E — середина MN, тому OE — медіана.

За властивістю рівнобедреного трикутника OE — висота, отже OE ⊥ MN.

Аналогічно △POK — рівнобедрений (OP = OK — радіуси).

F — середина PK; OF — медіана, тоді OF — висота, OF ⊥ PK.

OE ∈ AB; OF ∈ AB, тому маємо: AB ⊥ MN і AB ⊥ PK.

За властивістю паралельних прямих маємо: PK ∥ MN.

Доведено.