Номер 736

Через точку A до кола із центром O проведено дотичні AM і AK, M і K — точки дотику. Точка перетину відрізка OA з колом є серединою цього відрізка. Знайдіть кут MAK.

Дано: коло з центром в точці O. AM і AK — дотичні (A поза колом). M і K — точки дотику.
OA — перетинає коло в точці N. N — середина OA.
Знайти: ∠MAK.

Розв’язання

Виконаємо додаткові побудови:
OM і OK — радіуси.
За властивістю дотичних до кола маємо: OM ⊥ MA; OK ⊥ AK та MA = AK.
Розглянемо △OMA та △OKA — прямокутні. 
OA — спільна сторона; OM = OK — радіуси.
За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: △OMA = △OKA, звідси: ∠MAO = ∠KAO.
За аксіомою вимірювання кутів маємо: ∠MAK = ∠MAO + ∠KAO = 2∠MAO.
Розглянемо △OMA — прямокутний.
∠OMA = 90°; OM = ON = R; N — середина OA; якщо OM = NA і ON = R, то OA = 2R.
За властивістю катета, який лежить навпроти кута 30°, маємо: якщо OM = R та OA = 2R, то ∠MAO = 30°.
Звідси ∠MAK = 30° · 2 = 60°.

Відповідь: 60°.