Номер 206

На сторонах AB і BC трикутника позначено відповідно точки M і K так, що AM = 3BM, CK = 3BK. Доведіть, що MK ∥ AC і знайдіть відрізок MK, якщо AC = 16 см.

Розв’язання

Виконаємо додаткові побудови.

На стороні АВ позначаємо точки Е і N такі, що ВМ = МЕ = EN = NA (AM = 3BM).
На стороні BC позначаємо точки F і P такі, що BK = KF = FP = PC (KC = 3BK).
Розглянемо △EBF.
Якщо EM = MB і BK = KF, то MK —- середня лінія.
За теоремою про середню лінію трикутника маємо: MK ∥ EF і MK = ½EF.
Розглянемо △ABC.
Якщо  MB = ME = EN = NA, то MB + BE = EN + NA, EB = EA і BK = KF = FP = PC,
BK + KF = FP + PC, BF = FC.
Отже, маємо: EF — середня лінія △ABC.
За теоремою про середню лінію трикутника маємо: EF ∥ AC, EF = ½AC.
Отже, ми отримали EF ∥ MK і EF ∥ AC, звідси маємо MK ∥ AC.
Доведено.
MK = ½EF і EF = ½AC, MK = ¼AC, MK = 16 : 4 = 4 (см).
Відповідь: 4 см.