Номер 206

На сторонах AB і BC трикутника позначено відповідно точки M і K так, що AM = 3BM, CK = 3BK. Доведіть, що MK ∥ AC і знайдіть відрізок MK, якщо AC = 16 см.

Розв’язання

Виконаємо додаткові побудови.

На стороні АВ позначаємо точки Е і N такі, що ВМ = МЕ = EN = NA (AM = 3BM).

На стороні BC позначаємо точки F і P такі, що BK = KF = FP = PC (KC = 3BK).

Розглянемо △EBF.

Якщо EM = MB і BK = KF, то MK —- середня лінія.

За теоремою про середню лінію трикутника маємо: MK ∥ EF і MK = ½EF.

Розглянемо △ABC.

Якщо MB = ME = EN = NA, то MB + BE = EN + NA, EB = EA і BK = KF = FP = PC,

BK + KF = FP + PC, BF = FC.

Отже, маємо: EF — середня лінія △ABC.

За теоремою про середню лінію трикутника маємо: EF ∥ AC, EF = ½AC.

Отже, ми отримали EF ∥ MK і EF ∥ AC, звідси маємо MK ∥ AC.

Доведено.

MK = ½EF і EF = ½AC, MK = ¼AC, MK = 16 : 4 = 4 (см).

Відповідь: 4 см.