Номер 13.35
Скористаємось тим, що квадрат будь-якого натурального числа повинен містити парний степінь деякого простого числа у розкладі на прості множники. Наприклад, степені числа 2.
Побудуємо послідовність цілих чисел, будь-яка сума яких міститиме двійку в непарному степені в тому не може бути точним квадратом. В якості такої послідовності візьмемо непарні степені числа 2: 21, 23, 25, 27, ..., 2199, ... . Сума будь-якої кількості чисел з цієї послідовності містить у розкладі на прості множники 2 в непарному степені.
Наприклад: 23 + 27 + 29 + 213 = 23(1 + 24 + 26 + 210). В дужках — непарне число. Тому в розкладі суми на прості множники стоятиме 23, значить, сума не може бути квадратом.